Сообщений в теме: 199551

[ведмедь]

Ну штош, мона и начать... С чиво грити начинаем? Ааа, с апсуждения сингонии шушпанчега, гаварите она кубичисская... ну надо опридилиццо в причинах иё кубичности.

Причина кубичности - в особенности концентрации количества шушпанчегаф в ограниченном прстранцтве

[Бегемот]

Причина кубичности - в особенности концентрации количества шушпанчегаф в ограниченном прстранцтве

Не надо забывать также о совершенстве кубизма...

[ведмедь]

Не надо забывать также о совершенстве кубизма...

ога, особенно удобно для определения метрических параметров, пока не убежит

[tataro4ka]

голова

голову щипать нинада... ее гладить нуна))))

[Бегемот]

ога, особенно удобно для определения метрических параметров, пока не убежит

кроме того кубичность позволяет лехко разместить большие массы шушпанчегоф и лехко прикинут количество шушпанчикофф на квадратный метр, квадратность метра тоже восходит своими корнями к шупанчегам

[ведмедь]

голову щипать нинада... ее гладить нуна))))

*запесал*
голову - гладить, мяхкасти - щупать

[Бегемот]

ога, особенно удобно для определения метрических параметров, пока не убежит

кроме того кубичность позволяет лехко разместить большие массы шушпанчегоф и лехко прикинут количество шушпанчикофф на квадратный метр, квадратность метра тоже восходит своими корнями к шупанчегам

[tataro4ka]

ога, особенно удобно для определения метрических параметров, пока не убежит

но если достаточно хорошо закрепить , то определение кубичности довольно легко можно определить

[tataro4ka]

кроме того кубичность позволяет лехко разместить большие массы шушпанчегоф и лехко прикинут количество шушпанчикофф на квадратный метр, квадратность метра тоже восходит своими корнями к шупанчегам

смею предположить что восходит квадратными корнями, коллега...

[ведмедь]

кроме того кубичность позволяет лехко разместить большие массы шушпанчегоф и лехко прикинут количество шушпанчикофф на квадратный метр, квадратность метра тоже восходит своими корнями к шупанчегам

аспект влияния шушпанчегаф на тригонометрию

[Бегемот]

аспект влияния шушпанчегаф на тригонометрию

в свете развития шушпанизма думаю стоит рассматривать четыреганаметрию

[ведмедь]

смею предположить что восходит квадратными корнями, коллега...

... и на алгебру

[Лорелея]

че бы выпить, че бы выпить...все такое вкусное....

[Гроб]

Не надо забывать также о совершенстве кубизма...

Актуальность темы диссертации. Одним из наиболее актуальных и интересных направлений современной физики является изучение нелинейной динамики распределенных автоколебательных систем (РАС) [1-5]. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипатив-ных структур. Тем не менее, распределенные системы в настоящее время изучены значительно слабее, чем системы с небольшим числом степеней свободы. Это связано с тем, что для РАС характерна чрезвычайно разнообразная и сложно устроенная картина динамических режимов в пространстве управляющих параметров, детальное исследование которой представляет трудоемкую задачу.
Важным классом РАС являются системы с запаздывающей обратной связью (ЗОС), встречающиеся в самых разных областях физики, таких как радиофизика [6,7], нелинейная оптика [8], биофизика [9], физика и техника ускорителей [10], физика атмосферы [11], и даже в моделях экономики, экологии и социальных наук [12]. Хорошо известно, что подобные системы способны демонстрировать сложное, в том числе, хаотическое поведение [2,4,6,7]. В частности, в литературе обсуждался вопрос о моделировании некоторых свойств развитой турбулентности при помощи автогенераторов с запаздыванием [7,13]. Очевидный интерес представляют достаточно простые модели РАС с запаздыванием, детальное изучение которых численными, а, по возможности, и аналитическими методами способствовало бы выявлению основных закономерностей сложного поведения систем данного класса. В частности, генераторы с ЗОС с узкополосными резонансными колебательными системами могут быть описаны уравнением для медленно меняющейся комплексной амплитуды А следующего вида:
A + yA = F(A{t-%)). (1)
Правая часть уравнения вычисляется в запаздывающий момент времени t - т. В литературе системы вида (1) часто называют моделями типа «нелинейный усилитель — резонансный фильтр — линия задержки» [2,7].
Особую роль РАС с запаздыванием играют в радиофизике, в особенности в той ее части, которая связана с генерированием электромагнитных колебаний сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона. Типичным примером является генератор на основе лампы бегущей волны (ЛБВ) с ЗОС, для которого, по видимому, впервые в СВЧ электронике, удалось обнаружить и исследовать режимы динамического хаоса [14,15]. К числу систем с ЗОС можно отнести и приборы с резонансными колебательными системами, в которых
обратная связь обеспечивается за счет отражений от границ, например, такие как резонансная ЛБВ, лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) и др. [16]. Даже в таком приборе как лампа обратной волны (ЛОВ), где обратная связь внутренняя, а не внешняя, именно запаздывание, возникающее вследствие нелокального взаимодействия электронов и волны, является одной из причин возникновения автомодуляции и хаоса [17-19].
Среди электронных СВЧ генераторов с ЗОС весьма перспективными представляются автогенераторы на базе пролетных клистронов благодаря присущим им высоким уровням мощности и КПД, а также относительной простоте конструкции. Естественным математическим аппаратом для описания подобных систем являются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом типа (1) или системы таких уравнений. Тем не менее, в литературе основное внимание традиционно уделялось ЛБВ-генераторам с ЗОС [14,15,20-27], а вопросы нестационарной нелинейной теории клистронов-генераторов практически не рассматривались. Были предложены упрощенные модели генераторов на базе клистрона бегущей волны [28] и гироклистрона [29], для которых были изучены условия возникновения автомодуляции и указано на возможность перехода к хаосу. В работе [30] было проведено численное моделирование сложной динамики пролетного клистрона О-типа1. Однако следует отметить, что в этих работах рассматривались чрезмерно упрощенные модели, которые сводились к единственному дифференциальному уравнению первого порядка с запаздыванием [29,30] или даже алгебраическому уравнению с запаздыванием [28]. Подробного исследования картины нелинейной динамики в широком диапазоне параметров проведено не было. Таким образом, сложная динамика клистронов с ЗОС остается слабо изученной. Кроме того, до недавнего времени практически отсутствовали экспериментальные результаты. Можно упомянуть лишь работу [31], в которой получены автомодуляционные режимы колебаний мощного клистрона-генератора. Как отмечается в [31], подобные режимы могут представлять интерес для линейных ускорителей электронов с целью получения дополнительной модуляции пучка электронов на низкой частоте.
Следует отметить, что ранее автомодуляционные режимы генерации (как регулярные, так и хаотические), как правило, рассматривались в качестве паразитных явлений, и прикладной аспект исследований традиционно состоял в поиске способов их подавления. Единственным исключением является применение ЛБВ в режиме хаотических колебаний для генерации помех (шумотрон) [14,15]. Однако в последние годы появились интересные перспективы использования динамического хаоса в системах передачи и обработки информации [32-38], а также в радиолокации [39]. Они связаны с такими свойствами хаоти-
1 Ранее это уравнение было предложено Д.В. Соколовым в неопубликованной работе (1990).
5
ческих сигналов, как широкополосность, сложность и ортогональность. Так, цифровые системы связи, с несущей в виде хаотического сигнала благодаря его быстро спадающей автокорреляционной функции оказались эффективным решением одной из ключевых проблем современных систем связи — многолучевого распространения сигнала [40]. Распределение мощности сигнала в широкой полосе частот обусловливает помехоустойчивость, является решением проблемы электромагнитной совместимости [40], а также делает возможной скрытную передачу информации, когда уровень передаваемого сигнала опускается ниже уровня шума. Сложность хаотических сигналов также является ключом к защищенной передаче информации, поскольку затрудняет предсказание сигнала по перехваченному фрагменту сообщения и его последующую демодуляцию. Быстро спадающая кросскорреляционная функция хаотических сигналов делает возможным создание систем многопользовательского доступа на их базе. Так, хаотические последовательности, генерируемые сравнительно простым отображением, оказались значительно эффективнее псевдослучайных последовательностей, используемых в настоящее время в системах многопользовательского доступа с разделением кода (code division multiplex access, CDMA)
[35].
Идея использования шумоподобных сигналов в радиолокации появилась еще в 50-х
годах, однако ее реализация сдерживалась сложностью обработки подобных сигналов и отсутствием источников с требуемыми характеристиками, поэтому серьезного развития в то время она не получила. Тем не менее, в последние годы идеи шумовой радиолокации вновь оказались в центре внимания [39]. По некоторым оценкам, радары, использующие широкополосные сигналы, могут демонстрировать более высокие показатели по дальности и точности разрешения, чем их традиционные аналоги.
Следует отметить, что упомянутые достоинства хаотических сигналов зачастую непосредственно не связаны с их детерминированной природой. Однако у генераторов хаоса есть преимущества по сравнению с генераторами шума, обусловленные более богатыми возможностями управления характеристиками колебаний (что позволяет реализовать различные способы их модуляции информационным сигналом), а также возможностью применять для обработки информации специфические методы нелинейной динамики. Перечисленные свойства в сочетании со сравнительно простой архитектурой генераторов хаоса делают их весьма привлекательным для указанных выше приложений.
Очевидный интерес вызывает изучение перспектив создания хаотических систем связи в СВЧ диапазоне. На сегодняшний день успешно реализована система связи дециметрового диапазона, в которой использован генератор на биполярном транзисторе небольшой мощности (до 10 mW) [41]. Однако для продвижения в область более коротких волн, прежде всего — миллиметровых, и более высоких мощностей вакуумные генерато-
ры выглядят предпочтительнее. Тем не менее, хаотические системы связи на основе приборов вакуумной СВЧ электроники, широко использующихся в традиционных системах передачи информации (ЛБВ, клистроны и др.), в литературе практически не рассматривались. Лишь в самое последнее время появилась работа [42], в которой впервые был затронут вопрос о перспективах применения ЛБВ—генератора хаотических колебаний в системе спутниковой связи. Основное преимущество хаотического ЛБВ-генератора заключается в том, что он работает в сильно нелинейном режиме с относительно высоким КПД, тогда как ЛБВ-усилители, используемые в традиционных системах, для уменьшения нелинейных искажений вынуждены работать в режиме малых входных сигналов, на 5—10 dB ниже насыщения, так что их КПД мал. Недавно были проведены первые эксперименты по передаче информации в сантиметровом диапазоне с помощью хаотического ЛБВ—генератора [43]. Однако подобные работы все еще носят единичный характер.
Отметим, что нелинейной динамике систем с запаздыванием посвящено достаточно большое число работ (см., например, краткие обзоры в монографиях [2,4], обзор [6]). В ряде работ проводится достаточно детальный бифуркационный анализ (см., например, [44-47]). Однако в них, как правило, рассматриваются динамические системы вида
(2)
где переменная х вещественна. Сюда, в частности, относятся классические и хорошо изученные системы Икеды [8] и МакКея-Гласса [9]. В то же время, в диссертации рассматриваются системы, являющиеся моделями кольцевых генераторов с узкополосными резонансными колебательными системами, описывающиеся уравнениями для медленно меняющихся комплексных амплитуд вида (1). Такая ситуация типична для задач СВЧ радиофизики и электроники. Специфика таких радиофизических автогенераторов, выраженная, в частности, в существовании зон генерации, не проявляется для систем вида (2). Большой интерес в последние годы привлекла также идея применения ЗОС для управления хаосом, предложенная К. Пирагасом [48]; описание картины бифуркаций для ряда конкретных систем можно найти, например, в [49-51]. Однако эта задача также достаточно сильно отличается от решаемых в настоящей диссертации, поскольку рассматриваются системы, обладающие собственной хаотической динамикой, и обратная связь вводится для того, чтобы стабилизировать неустойчивую периодическую орбиту. В диссертации же рассматриваются кольцевые системы, в которых в отсутствие ЗОС возбуждение автоколебаний вообще невозможно.
Добавим, что обычно интересуются последовательностью бифуркаций, наблюдающейся по мере увеличения времени запаздывания т [44-47]. Однако для электронных автогенераторов с ЗОС реализовать плавную перестройку т в широких пределах доста-
точно проблематично. Более адекватным условиям эксперимента представляется исследование динамики при изменении таких параметров, как коэффициент усиления или коэффициент обратной связи.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и нелинейной динамики.
Цель диссертационной работы состоит в выяснении основных механизмов и закономерностей сложной динамики в моделях РАС, описывающихся дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:
• детальное изучение картины нелинейной динамики простых моделей автогенераторов с запаздыванием типа (1) (автогенератор с кубичной нелинейностью, автогенератор с нелинейностью в виде функции Бесселя);
• разработка моделей двух- и многорезонаторных клистронных автогенераторов с ЗОС в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, их теоретический анализ, численное моделирование нестационарных процессов, определение сценариев перехода к хаосу и особенностей сложной динамики;
• сопоставление результатов экспериментального исследования многорезонаторного клистрона с ЗОС с результатами численного моделирования, моделирование нестационарных процессов методом «частиц в ячейке»;
• анализ возможности использования хаотического клистронного генератора в системе передачи информации.
Достоверность научных выводов работы обусловлена тем, что для численного моделирования используются хорошо апробированные методы и численные схемы. В качестве тестовых расчетов в ряде случаев воспроизводились результаты, полученные другими авторами. Результаты теоретического анализа полностью согласуются с численными экспериментами. Численные результаты находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые. В частности:
• Для модели автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием подробно изучена картина сложного поведения, включая режимы динамического хаоса, в широком диапазоне параметров. Эта картина существенно развивает и обобщает результаты, описанные ранее в работах [52,53], где рассматривались различные частные случаи;
• Предложены математические модели автогенераторов на базе двух- и многорезона-торных клистронов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Изучены механизмы возникновения автомодуляции и сценарии перехода к хаосу в широком диапазоне управляющих параметров;
• Для моделей клистронных автогенераторов с запаздыванием выявлен механизм перехода к развитому хаосу, связанный с взаимодействием аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных режимов;
• Предложена методика учета пространственного заряда в нестационарной теории клистронных автогенераторов на основе волновой теории В.А. Солнцева. Обнаружена возможность подавления автомодуляции и срыва генерации за счет сил пространственного заряда;
• Проведено экспериментальное исследование сложной динамики многорезонаторного клистрона с ЗОС, обнаружено хорошее качественное соответствие с результатами численного моделирования;
• Показана возможность управления хаотическими режимами в клистронном автогенераторе с ЗОС при воздействии внешним гармоническим сигналом. Предложена схема передачи информации на основе хаотического клистрона-генератора, в которой используется модуляция по методу переключения хаотических несущих (chaos shift keying);
• Проведены расчеты спектров показателей Ляпунова для различных автогенераторов с запаздыванием, выявлены режимы гиперхаоса, характеризующиеся наличием двух положительных показателей.
Практическая значимость. В диссертационной работе развита нестационарная теория автогенераторов СВЧ диапазона на базе пролетных клистронов с запаздыванием. Изучение условий возникновения автомодуляции позволяет определить условия устойчивой работы этих приборов в режиме одночастотной генерации. Результаты исследований хаотических режимов представляют особый интерес с точки зрения создания генераторов хаотического излучения СВЧ диапазона для систем связи, обработки информации и радиолокации на основе динамического хаоса. Предложена цифровая система передачи информации по методу переключения хаотических несущих на основе клистрона с ЗОС. Вместе с тем, поскольку РАС с запаздыванием широко распространены в природе и технике, результаты диссертации имеют общенаучное значение и способствуют пониманию основных закономерностей пространственно—временного хаоса (турбулентности) в распределенных системах.
Ряд результатов диссертации используется в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ.
Результаты диссертации были получены при выполнении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами CRDF (№ REC-006), РФФИ (98-02-16541, 03-02-16192, 03-02-16269), ФЦП «Интеграция» (№ А0057), программой «Университеты России» (№№ 015.01.01.79, 01.01.021, 01.01.049).
Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» СГУ, на семинаре Института телекоммуникаций Университета г. Штутгарт, Германия, а также на следующих международных и всероссийских конференциях:
• 31st IEEE International Conference on Plasma Science (ICOPS 2004), Baltimore, Maryland,
USA, 2004;
• 11th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2003), Scuol/Schuls, Switzerland, 2003;
• Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы электрон-
ного приборостроения», Саратов, 2000;
• II международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, 2000;
• V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург,
2001;
• Международный семинар "Nonlinear Dynamics & Complex Systems", Минск, Беларусь, . 2001;
• Межвузовская конференция «Современные проблемы радиофизики и электроники
СВЧ», Саратов, 2001;
• Седьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых,
Санкт-Петербург, 2001;
• 6-я Международная школа-семинар «Хаотические автоколебания и образование струк-
тур», Саратов, 2001;
• Ежегодные научные школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых»,
Саратов, 1999-2001,2003, 2004.
По теме диссертации опубликована 31 работа, из них 7 статей в ведущих научных журналах [94-100], 10 статей в сборниках трудов конференций [101-110], 14 тезисов докладов [111-124].
Ряд результатов диссертации вошел в работы, за которые автор (совместно с Дмитриевой Т.В.) был награжден медалью и премией РАН за лучшую студенческую научную
10
работу в области общей физики и астрономии 2001 г. и медалью Открытого конкурса министерства образования РФ на лучшую научно-исследовательскую работу студентов 1999 г.
Личный вклад соискателя. Все результаты численного моделирования, представленные в работе, получены лично соискателем с помощью им же разработанного комплекса программ. Программа расчета спектра показателей Ляпунова в системах с запаздыванием (п. 1.3) была написана совместно с А.А. Балякиным. При моделировании многорезонатор-ного клистрона-генератора методом «частиц в ячейке» (п. 3.5) использовалась программа, написанная В.Н. Титовым. Разработка математических моделей клистронных автогенераторов, их аналитическое исследование, а также обсуждение и интерпретация полученных теоретических и численных результатов проводились совместно с научным руководителем. Экспериментальные результаты, вошедшие в работы [95,98,99,101,119,121-123] получены совместно с Б.С. Дмитриевым, Ю.Д. Жарковым, Д.В. Клокотовым и В.Н. Скоро-ходовым, с помощью разработанных ими экспериментальной установки и методик измерений. В работах [94,96,102,104,108,111,120] автору принадлежат результаты, включенные в диссертацию.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 135 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 8 страницах включает 124 наименования. Положения, выносимые на защиту:
1. Для автогенераторов с ЗОС и узкополосными резонансными колебательными системами в центрах зон генерации по мере увеличения параметра неравновесности наблюдается сложная последовательность многократно чередующихся периодических и хаотических режимов автомодуляции, причем переходы к хаосу происходят в основном через последовательность бифуркаций удвоения периода. Режимы периодической автомодуляции можно разделить на два типа: в первом случае в спектре доминирует составляющая на основной собственной моде, во втором основная мода подавлена, а доминируют две составляющие с примерно одинаковыми амплитудами, расположенные симметрично от нее (эффект «расщепления моды»).
2. Вблизи границ зон генерации в автогенераторах с ЗОС и узкополосными резонансными колебательными системами лежит область бистабильности, в которой сосуществуют режимы на базе двух соседних мод. Удается наблюдать лишь конечное число бифуркаций удвоения, число которых уменьшается при приближении к границе зоны. Далее вновь восстанавливается периодическая автомодуляция, затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. При достаточно боль-
11
ших значениях параметра неравновесности происходит объединение аттракторов на базе двух различных собственных мод в единый аттрактор. Возникает либо режим многомодового развитого хаоса, либо режим периодической автомодуляции, в спектре которого присутствуют частоты обеих мод.
3. В клистронных автогенераторах с ЗОС при увеличении тока пучка или глубины обратной связи многократная перегруппировка пучка приводит к возникновению новых стационарных режимов генерации. На базе каждого из этих стационарных состояний с ростом управляющего параметра наблюдается возникновение автомодуляции, а затем переход к хаосу. Далее происходит объединение хаотических аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных состояний, приводящее к возникновению развитого хаоса.
4. Воздействуя внешним гармоническим сигналом на клистронный автогенератор хаотических колебаний, можно осуществить переключение между различными хаотическими режимами. На основе этого метода может быть реализована цифровая прямохаоти-ческая система связи, демонстрирующая значительную устойчивость к шуму в канале связи.
Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.
В Главе 1 рассматривается сложная динамика простых моделей автогенераторов с ЗОС, описывающихся дифференциальными уравнениями с запаздыванием типа (1). В п. 1.1 рассматривается модель автогенератора с кубичной нелинейностью, в п. 1.2 — модель автогенератора с нелинейной характеристикой в виде функции Бесселя (модель «од-норезонаторного» клистрона). Для обеих систем проведен подробный теоретический анализ условий самовозбуждения, стационарных режимов генерации и условий автомодуляции. Показано, что порог самовозбуждения периодически зависит от фазы параметра ОС, т.е. на плоскости параметров наблюдается система дискретно расположенных зон генерации. С ростом параметра неравновесности зоны расширяются и начинают перекрываться вблизи границ, где наблюдается мультистабильность: в зависимости от начальных условий могут возбуждаться колебания на одной из двух соседних собственных мод.
Подробно изучена динамика модели автогенератора с кубичной нелинейностью в центрах и вблизи границ зон генерации. Описана сложная последовательность чередующихся регулярных и хаотических режимов автомодуляции, которые наблюдаются по мере увеличения параметра неравновесности. Обнаружено, что доминирующим сценарием перехода к хаосу в центре зон является последовательность бифуркаций удвоения периода
12
автомодуляции. Вблизи границ зон удается наблюдать лишь число бифуркаций удвоения, число которых уменьшается по мере приближения к границе. Далее вновь восстанавливаются периодические режимы, а затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Последовательность бифуркаций завершается объединением аттракторов на базе различных мод, которое может происходить двумя способами. Происходит либо слияние двух хаотических аттракторов в единый развитый хаотический аттрактор (многомодовый хаос), либо возникает периодический режим, в спектре которого присутствуют частоты обеих соседних мод.
Обнаружено, что специфический тип нелинейности модели «однорезонаторного» клистрона приводит к появлению все большего числа стационарных режимов колебаний с ростом параметра неравновесности, причем все они соответствуют одной и той же собственной моде. В определенных областях параметров аттракторы, сформировавшиеся на базе различных стационарных состояний, сосуществуют, затем происходит их объединение, что является еще одним механизмом возникновения развитого хаоса в подобных системах.
Развита нестационарная теория отражательного клистрона, показано, что он также может быть описан моделью «однорезонаторного» клистрона. Однако оценки характерных значений параметров показывают, что в типичной ситуации для получения автомодуляционных или хаотических режимов требуется, чтобы ток пучка значительно (в нескольких десятков раз) превысил стартовое значение, так что экспериментальное наблюдение подобных режимов в отражательном клистроне представляется проблематичным.
В п. 1.3 проведены расчеты спектров показателей Ляпунова. Показано, что развитый хаотический аттрактор, образующийся при объединении аттракторов на базе двух соседних мод вблизи границы зон генерации, характеризуется двумя положительными показателями, т.е. возникает режим гиперхаоса. В то же время, когда режимы развитого хаоса, образуются в результате объединения аттракторов на базе различных стационарных состояний в модели «однорезонаторного» клистрона, по-прежнему имеется только один положительный показатель, величина которого резко увеличивается. Таким образом, гиперхаотическими являются только существенно многомодовые режимы, в которых по терминологии работы [6] не сохраняется фазовый топологический инвариант.
В Главе 2 изучена математическая модель генератора на основе двухрезонаторного клистрона в виде системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит запаздывание. Для предложенной модели проведен детальный теоретический анализ условий самовозбуждения и режимов стационарной генерации. Проведено численное моделирование процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере
13
увеличения тока электронного пучка или глубины обратной связи. Картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл. 1.
Предложена методика учета влияния сил пространственного заряда, основанная на нелинейной волновой теории В.А. Солнцева. Показано, что с увеличением пространственного заряда стартовый ток возрастает, однако при этом также возрастает и выходная мощность клистрона-генератора. Кроме того, обнаружено, что влияние сил пространственного заряда может приводить к подавлению автомодуляции и срыву генерации.
Рассмотрен вопрос о применении хаотического клистрона-генератора в системе передачи информации. Была выбрана так называемая схема с переключением хаотических режимов, обладающая рядом преимуществ, в частности, меньшей чувствительностью к неидентичности элементов приемника и передатчика [38]. Для переключения между различными хаотическими режимами использовалось воздействие на генератор внешним гармоническим сигналом. Проведены численные эксперименты по передаче информации, показавшие хорошую устойчивость к высокому уровню шума в канале связи. Кроме того модуляция сигнала с помощью переключения хаотических режимов была реализована экспериментально.
Глава 3 посвящена вопросам нестационарной теории многорезонаторных клистронов-генераторов. Предложены математические модели генераторов с различным количеством резонаторов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием (п. 3.1), проведен теоретический анализ условий самовозбуждения (п. 3.2). Представлены результаты численного моделирования процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере увеличения тока электронного пучка или глубины обратной связи (п. 3.3). В целом картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл. 1 и модели двухрезонаторного клистрона, изученной в гл. 2. Проведено сопоставление с результатами экспериментальных исследований автогенератора хаотических колебаний на основе пятирезонаторного клистрона средней мощности десятисантиметрового диапазона (п. 3.4). Подтверждаются основные особенности динамики, обнаруженные в ходе численных экспериментов.
Хотя качественное соответствие результатов теории и эксперимента можно признать достаточно хорошим, предложенные модели, основанные на системах дифференци-,альных уравнений с запаздыванием, имеют ряд недостатков. В частности, они не учитывают распределенный характер взаимодействия пучка с полем в зазоре резонатора, что приводит к существенным расхождениям в низковольтной области. Более реалистичную картину можно получить, используя традиционные для СВЧ электроники методы круп-
14
ных частиц. В п. 3.5 представлены результаты численного моделирования многорезона-торного клистрона с параметрами, соответствующими экспериментальному макету, на основе метода «частиц в ячейке», которые, с одной стороны, подтверждают основные качественные закономерности, обнаруженные при изучении более простых моделей, с другой стороны позволяют значительно уточнить эту картину и добиться количественного соответствия с экспериментом.
В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
15
1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ПРОСТЫХ МОДЕЛЕЙ АВТОГЕНЕРАТОРОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Исследование сложной динамики распределенных систем представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу, что связано с бесконечным числом степеней свободы и наличием нескольких управляющих параметров. Поэтому представляется целесообразным начать с рассмотрения достаточно простых модельных систем, демонстрирующих основные особенности поведения РАС с ЗОС, которые можно было бы детально исследовать численными, а по возможности — и аналитическими методами. Как известно, простейшая функциональная схема автогенератора с запаздыванием может быть представлена в виде замкнутых в кольцо нелинейного усилителя, резонансного фильтра и линии задержки [7,17]. В настоящей главе приведены результаты исследования двух подобных моделей: автогенератора с кубичной нелинейностью (укороченное уравнение Ван дер Поля с запаздыванием) и генератора, нелинейная характеристика которого описывается функцией Бесселя (модель «однорезонаторного клистрона»).
1.1. Простая модель автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием
Модель автогенератора с ЗОС типа «усилитель — фильтр — линия задержки» в простейшем случае, когда амплитудная нелинейность предполагается кубичной, может быть описана уравнением для медленно меняющейся амплитуды колебаний А
A + yA = ae"vl\-\A(t-l)\2)jA(t-\). (1.1)
Здесь а — параметр, пропорциональный коэффициенту усиления (точнее, произведению коэффициента усиления на глубину ОС), у — параметр диссипации, обратно пропорциональный добротности фильтра, \|/ — набег фазы за время прохождения сигнала по цепи обратной связи. Правая часть уравнения (1.1) зависит от значений амплитуды в запаздывающий момент времени / — 1 (всегда можно выбрать такую нормировку переменных, в которой время запаздывания равно единице).
Уравнение (1.1) приближенно описывает, например, динамику триодного генератора Ван дер Поля с линией задержки в анодной цепи, в случае, когда анодно-сеточная характеристика лампы аппроксимируется кубическим полиномом [54]. В отсутствие запаздывания оно переходит в укороченное уравнение Ван дер Поля
, (1.2)
16
которое описывает установление режима периодических одночастотных автоколебаний в окрестности порога самовозбуждения в широком классе автоколебательных систем [1,4,55]. Поэтому естественно использовать уравнение (1.1) в качестве универсальной модели для описания динамики автоколебательных систем с ЗОС.
Ранее некоторые вопросы, связанные со сложной динамикой автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием (1.1), рассматривались в работах [52,53]. Было показано, что по мере увеличения параметра неравновесности стационарное решение становится неустойчивым и возникает автомодуляция. При дальнейшем увеличении а наблюдался переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума, т.е. через последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции. В данном разделе приведены результаты подробного исследования нелинейной динамики модели (1.1) в широком диапазоне управляющих параметров, которые существенно дополняют и обобщают результаты [52,53]. Обнаружена значительно более богатая и разнообразная картина автоколебательных режимов с многочисленными переходами к хаосу по различным сценариям.
1.1.1. Теоретический анализ
Найдем условия самовозбуждения автоколебаний. Линеаризуя уравнение (1.1) и отыскивая решение в виде А ~ ехр(/?г), получим характеристическое уравнение
р + у = ае'^-р). (1.3)
Это трансцендентное уравнение, которое имеет бесконечное число комплексных корней, что отражает распределенную природу системы. Учитывая, что на границе неустойчивости р является чисто мнимым, p = ia>, где ю — частота колебаний, из (1.3) находим
y = acos(co-il/), co = -asin(
Исключая из уравнений (1.4) параметр <х, можно получить уравнение для частот, с которыми возбуждаются колебания:
(i) (1.5)
Удобно решать уравнение (1.5) графически (рис. 1.1). Занумеруем его корни так, как показано на рис. 1.1. Поскольку по смыслу задачи параметры а и у считаются положительными, следует учитывать только те корни, для которых cos(co-i|/)>0, т.е. корни с четными номерами. Из рис. 1.1 видно, что при изменении у частоты собственных мод ведут
себя следующим образом. При у-* 0 имеем ю±„ «\|/±\пп— , где п = 2,4,... Для ос-
17
я разливаю?

[Бегемот]

смею предположить что восходит квадратными корнями, коллега...

безусловна, высшая сингония (кубическая) в обязательном порядке диктуит наличие квадратных граней

[ведмедь]

в свете развития шушпанизма думаю стоит рассматривать четыреганаметрию

учитывая шушпанскую мнительность - стереогонометрию!

[ведмедь]

Актуальность темы диссертации. Одним из наиболее актуальных и интересных направлений современной физики является изучение нелинейной динамики распределенных автоколебательных систем (РАС) [1-5]. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипатив-ных структур. Тем не менее, распределенные системы в настоящее время изучены значительно слабее, чем системы с небольшим числом степеней свободы. Это связано с тем, что для РАС характерна чрезвычайно разнообразная и сложно устроенная картина динамических режимов в пространстве управляющих параметров, детальное исследование которой представляет трудоемкую задачу.
Важным классом РАС являются системы с запаздывающей обратной связью (ЗОС), встречающиеся в самых разных областях физики, таких как радиофизика [6,7], нелинейная оптика [8], биофизика [9], физика и техника ускорителей [10], физика атмосферы [11], и даже в моделях экономики, экологии и социальных наук [12]. Хорошо известно, что подобные системы способны демонстрировать сложное, в том числе, хаотическое поведение [2,4,6,7]. В частности, в литературе обсуждался вопрос о моделировании некоторых свойств развитой турбулентности при помощи автогенераторов с запаздыванием [7,13]. Очевидный интерес представляют достаточно простые модели РАС с запаздыванием, детальное изучение которых численными, а, по возможности, и аналитическими методами способствовало бы выявлению основных закономерностей сложного поведения систем данного класса. В частности, генераторы с ЗОС с узкополосными резонансными колебательными системами могут быть описаны уравнением для медленно меняющейся комплексной амплитуды А следующего вида:
A + yA = F(A{t-%)). (1)
Правая часть уравнения вычисляется в запаздывающий момент времени t - т. В литературе системы вида (1) часто называют моделями типа «нелинейный усилитель — резонансный фильтр — линия задержки» [2,7].
Особую роль РАС с запаздыванием играют в радиофизике, в особенности в той ее части, которая связана с генерированием электромагнитных колебаний сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона. Типичным примером является генератор на основе лампы бегущей волны (ЛБВ) с ЗОС, для которого, по видимому, впервые в СВЧ электронике, удалось обнаружить и исследовать режимы динамического хаоса [14,15]. К числу систем с ЗОС можно отнести и приборы с резонансными колебательными системами, в которых
обратная связь обеспечивается за счет отражений от границ, например, такие как резонансная ЛБВ, лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) и др. [16]. Даже в таком приборе как лампа обратной волны (ЛОВ), где обратная связь внутренняя, а не внешняя, именно запаздывание, возникающее вследствие нелокального взаимодействия электронов и волны, является одной из причин возникновения автомодуляции и хаоса [17-19].
Среди электронных СВЧ генераторов с ЗОС весьма перспективными представляются автогенераторы на базе пролетных клистронов благодаря присущим им высоким уровням мощности и КПД, а также относительной простоте конструкции. Естественным математическим аппаратом для описания подобных систем являются дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом типа (1) или системы таких уравнений. Тем не менее, в литературе основное внимание традиционно уделялось ЛБВ-генераторам с ЗОС [14,15,20-27], а вопросы нестационарной нелинейной теории клистронов-генераторов практически не рассматривались. Были предложены упрощенные модели генераторов на базе клистрона бегущей волны [28] и гироклистрона [29], для которых были изучены условия возникновения автомодуляции и указано на возможность перехода к хаосу. В работе [30] было проведено численное моделирование сложной динамики пролетного клистрона О-типа1. Однако следует отметить, что в этих работах рассматривались чрезмерно упрощенные модели, которые сводились к единственному дифференциальному уравнению первого порядка с запаздыванием [29,30] или даже алгебраическому уравнению с запаздыванием [28]. Подробного исследования картины нелинейной динамики в широком диапазоне параметров проведено не было. Таким образом, сложная динамика клистронов с ЗОС остается слабо изученной. Кроме того, до недавнего времени практически отсутствовали экспериментальные результаты. Можно упомянуть лишь работу [31], в которой получены автомодуляционные режимы колебаний мощного клистрона-генератора. Как отмечается в [31], подобные режимы могут представлять интерес для линейных ускорителей электронов с целью получения дополнительной модуляции пучка электронов на низкой частоте.
Следует отметить, что ранее автомодуляционные режимы генерации (как регулярные, так и хаотические), как правило, рассматривались в качестве паразитных явлений, и прикладной аспект исследований традиционно состоял в поиске способов их подавления. Единственным исключением является применение ЛБВ в режиме хаотических колебаний для генерации помех (шумотрон) [14,15]. Однако в последние годы появились интересные перспективы использования динамического хаоса в системах передачи и обработки информации [32-38], а также в радиолокации [39]. Они связаны с такими свойствами хаоти-
1 Ранее это уравнение было предложено Д.В. Соколовым в неопубликованной работе (1990).
5
ческих сигналов, как широкополосность, сложность и ортогональность. Так, цифровые системы связи, с несущей в виде хаотического сигнала благодаря его быстро спадающей автокорреляционной функции оказались эффективным решением одной из ключевых проблем современных систем связи — многолучевого распространения сигнала [40]. Распределение мощности сигнала в широкой полосе частот обусловливает помехоустойчивость, является решением проблемы электромагнитной совместимости [40], а также делает возможной скрытную передачу информации, когда уровень передаваемого сигнала опускается ниже уровня шума. Сложность хаотических сигналов также является ключом к защищенной передаче информации, поскольку затрудняет предсказание сигнала по перехваченному фрагменту сообщения и его последующую демодуляцию. Быстро спадающая кросскорреляционная функция хаотических сигналов делает возможным создание систем многопользовательского доступа на их базе. Так, хаотические последовательности, генерируемые сравнительно простым отображением, оказались значительно эффективнее псевдослучайных последовательностей, используемых в настоящее время в системах многопользовательского доступа с разделением кода (code division multiplex access, CDMA)
[35].
Идея использования шумоподобных сигналов в радиолокации появилась еще в 50-х
годах, однако ее реализация сдерживалась сложностью обработки подобных сигналов и отсутствием источников с требуемыми характеристиками, поэтому серьезного развития в то время она не получила. Тем не менее, в последние годы идеи шумовой радиолокации вновь оказались в центре внимания [39]. По некоторым оценкам, радары, использующие широкополосные сигналы, могут демонстрировать более высокие показатели по дальности и точности разрешения, чем их традиционные аналоги.
Следует отметить, что упомянутые достоинства хаотических сигналов зачастую непосредственно не связаны с их детерминированной природой. Однако у генераторов хаоса есть преимущества по сравнению с генераторами шума, обусловленные более богатыми возможностями управления характеристиками колебаний (что позволяет реализовать различные способы их модуляции информационным сигналом), а также возможностью применять для обработки информации специфические методы нелинейной динамики. Перечисленные свойства в сочетании со сравнительно простой архитектурой генераторов хаоса делают их весьма привлекательным для указанных выше приложений.
Очевидный интерес вызывает изучение перспектив создания хаотических систем связи в СВЧ диапазоне. На сегодняшний день успешно реализована система связи дециметрового диапазона, в которой использован генератор на биполярном транзисторе небольшой мощности (до 10 mW) [41]. Однако для продвижения в область более коротких волн, прежде всего — миллиметровых, и более высоких мощностей вакуумные генерато-
ры выглядят предпочтительнее. Тем не менее, хаотические системы связи на основе приборов вакуумной СВЧ электроники, широко использующихся в традиционных системах передачи информации (ЛБВ, клистроны и др.), в литературе практически не рассматривались. Лишь в самое последнее время появилась работа [42], в которой впервые был затронут вопрос о перспективах применения ЛБВ—генератора хаотических колебаний в системе спутниковой связи. Основное преимущество хаотического ЛБВ-генератора заключается в том, что он работает в сильно нелинейном режиме с относительно высоким КПД, тогда как ЛБВ-усилители, используемые в традиционных системах, для уменьшения нелинейных искажений вынуждены работать в режиме малых входных сигналов, на 5—10 dB ниже насыщения, так что их КПД мал. Недавно были проведены первые эксперименты по передаче информации в сантиметровом диапазоне с помощью хаотического ЛБВ—генератора [43]. Однако подобные работы все еще носят единичный характер.
Отметим, что нелинейной динамике систем с запаздыванием посвящено достаточно большое число работ (см., например, краткие обзоры в монографиях [2,4], обзор [6]). В ряде работ проводится достаточно детальный бифуркационный анализ (см., например, [44-47]). Однако в них, как правило, рассматриваются динамические системы вида
(2)
где переменная х вещественна. Сюда, в частности, относятся классические и хорошо изученные системы Икеды [8] и МакКея-Гласса [9]. В то же время, в диссертации рассматриваются системы, являющиеся моделями кольцевых генераторов с узкополосными резонансными колебательными системами, описывающиеся уравнениями для медленно меняющихся комплексных амплитуд вида (1). Такая ситуация типична для задач СВЧ радиофизики и электроники. Специфика таких радиофизических автогенераторов, выраженная, в частности, в существовании зон генерации, не проявляется для систем вида (2). Большой интерес в последние годы привлекла также идея применения ЗОС для управления хаосом, предложенная К. Пирагасом [48]; описание картины бифуркаций для ряда конкретных систем можно найти, например, в [49-51]. Однако эта задача также достаточно сильно отличается от решаемых в настоящей диссертации, поскольку рассматриваются системы, обладающие собственной хаотической динамикой, и обратная связь вводится для того, чтобы стабилизировать неустойчивую периодическую орбиту. В диссертации же рассматриваются кольцевые системы, в которых в отсутствие ЗОС возбуждение автоколебаний вообще невозможно.
Добавим, что обычно интересуются последовательностью бифуркаций, наблюдающейся по мере увеличения времени запаздывания т [44-47]. Однако для электронных автогенераторов с ЗОС реализовать плавную перестройку т в широких пределах доста-
точно проблематично. Более адекватным условиям эксперимента представляется исследование динамики при изменении таких параметров, как коэффициент усиления или коэффициент обратной связи.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики и нелинейной динамики.
Цель диссертационной работы состоит в выяснении основных механизмов и закономерностей сложной динамики в моделях РАС, описывающихся дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Для достижения поставленных целей в работе решаются следующие основные задачи:
• детальное изучение картины нелинейной динамики простых моделей автогенераторов с запаздыванием типа (1) (автогенератор с кубичной нелинейностью, автогенератор с нелинейностью в виде функции Бесселя);
• разработка моделей двух- и многорезонаторных клистронных автогенераторов с ЗОС в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, их теоретический анализ, численное моделирование нестационарных процессов, определение сценариев перехода к хаосу и особенностей сложной динамики;
• сопоставление результатов экспериментального исследования многорезонаторного клистрона с ЗОС с результатами численного моделирования, моделирование нестационарных процессов методом «частиц в ячейке»;
• анализ возможности использования хаотического клистронного генератора в системе передачи информации.
Достоверность научных выводов работы обусловлена тем, что для численного моделирования используются хорошо апробированные методы и численные схемы. В качестве тестовых расчетов в ряде случаев воспроизводились результаты, полученные другими авторами. Результаты теоретического анализа полностью согласуются с численными экспериментами. Численные результаты находятся в хорошем качественном соответствии с экспериментальными.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены впервые. В частности:
• Для модели автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием подробно изучена картина сложного поведения, включая режимы динамического хаоса, в широком диапазоне параметров. Эта картина существенно развивает и обобщает результаты, описанные ранее в работах [52,53], где рассматривались различные частные случаи;
• Предложены математические модели автогенераторов на базе двух- и многорезона-торных клистронов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Изучены механизмы возникновения автомодуляции и сценарии перехода к хаосу в широком диапазоне управляющих параметров;
• Для моделей клистронных автогенераторов с запаздыванием выявлен механизм перехода к развитому хаосу, связанный с взаимодействием аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных режимов;
• Предложена методика учета пространственного заряда в нестационарной теории клистронных автогенераторов на основе волновой теории В.А. Солнцева. Обнаружена возможность подавления автомодуляции и срыва генерации за счет сил пространственного заряда;
• Проведено экспериментальное исследование сложной динамики многорезонаторного клистрона с ЗОС, обнаружено хорошее качественное соответствие с результатами численного моделирования;
• Показана возможность управления хаотическими режимами в клистронном автогенераторе с ЗОС при воздействии внешним гармоническим сигналом. Предложена схема передачи информации на основе хаотического клистрона-генератора, в которой используется модуляция по методу переключения хаотических несущих (chaos shift keying);
• Проведены расчеты спектров показателей Ляпунова для различных автогенераторов с запаздыванием, выявлены режимы гиперхаоса, характеризующиеся наличием двух положительных показателей.
Практическая значимость. В диссертационной работе развита нестационарная теория автогенераторов СВЧ диапазона на базе пролетных клистронов с запаздыванием. Изучение условий возникновения автомодуляции позволяет определить условия устойчивой работы этих приборов в режиме одночастотной генерации. Результаты исследований хаотических режимов представляют особый интерес с точки зрения создания генераторов хаотического излучения СВЧ диапазона для систем связи, обработки информации и радиолокации на основе динамического хаоса. Предложена цифровая система передачи информации по методу переключения хаотических несущих на основе клистрона с ЗОС. Вместе с тем, поскольку РАС с запаздыванием широко распространены в природе и технике, результаты диссертации имеют общенаучное значение и способствуют пониманию основных закономерностей пространственно—временного хаоса (турбулентности) в распределенных системах.
Ряд результатов диссертации используется в учебном процессе на факультете нелинейных процессов СГУ.
Результаты диссертации были получены при выполнении ряда НИР, в том числе поддержанных грантами CRDF (№ REC-006), РФФИ (98-02-16541, 03-02-16192, 03-02-16269), ФЦП «Интеграция» (№ А0057), программой «Университеты России» (№№ 015.01.01.79, 01.01.021, 01.01.049).
Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» СГУ, на семинаре Института телекоммуникаций Университета г. Штутгарт, Германия, а также на следующих международных и всероссийских конференциях:
• 31st IEEE International Conference on Plasma Science (ICOPS 2004), Baltimore, Maryland,
USA, 2004;
• 11th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2003), Scuol/Schuls, Switzerland, 2003;
• Международная научно-техническая конференция «Актуальные проблемы электрон-
ного приборостроения», Саратов, 2000;
• II международная конференция «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, 2000;
• V Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков, Санкт-Петербург,
2001;
• Международный семинар "Nonlinear Dynamics & Complex Systems", Минск, Беларусь, . 2001;
• Межвузовская конференция «Современные проблемы радиофизики и электроники
СВЧ», Саратов, 2001;
• Седьмая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых,
Санкт-Петербург, 2001;
• 6-я Международная школа-семинар «Хаотические автоколебания и образование струк-
тур», Саратов, 2001;
• Ежегодные научные школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых»,
Саратов, 1999-2001,2003, 2004.
По теме диссертации опубликована 31 работа, из них 7 статей в ведущих научных журналах [94-100], 10 статей в сборниках трудов конференций [101-110], 14 тезисов докладов [111-124].
Ряд результатов диссертации вошел в работы, за которые автор (совместно с Дмитриевой Т.В.) был награжден медалью и премией РАН за лучшую студенческую научную
10
работу в области общей физики и астрономии 2001 г. и медалью Открытого конкурса министерства образования РФ на лучшую научно-исследовательскую работу студентов 1999 г.
Личный вклад соискателя. Все результаты численного моделирования, представленные в работе, получены лично соискателем с помощью им же разработанного комплекса программ. Программа расчета спектра показателей Ляпунова в системах с запаздыванием (п. 1.3) была написана совместно с А.А. Балякиным. При моделировании многорезонатор-ного клистрона-генератора методом «частиц в ячейке» (п. 3.5) использовалась программа, написанная В.Н. Титовым. Разработка математических моделей клистронных автогенераторов, их аналитическое исследование, а также обсуждение и интерпретация полученных теоретических и численных результатов проводились совместно с научным руководителем. Экспериментальные результаты, вошедшие в работы [95,98,99,101,119,121-123] получены совместно с Б.С. Дмитриевым, Ю.Д. Жарковым, Д.В. Клокотовым и В.Н. Скоро-ходовым, с помощью разработанных ими экспериментальной установки и методик измерений. В работах [94,96,102,104,108,111,120] автору принадлежат результаты, включенные в диссертацию.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 135 страниц текста, включая иллюстрации. Список литературы на 8 страницах включает 124 наименования. Положения, выносимые на защиту:
1. Для автогенераторов с ЗОС и узкополосными резонансными колебательными системами в центрах зон генерации по мере увеличения параметра неравновесности наблюдается сложная последовательность многократно чередующихся периодических и хаотических режимов автомодуляции, причем переходы к хаосу происходят в основном через последовательность бифуркаций удвоения периода. Режимы периодической автомодуляции можно разделить на два типа: в первом случае в спектре доминирует составляющая на основной собственной моде, во втором основная мода подавлена, а доминируют две составляющие с примерно одинаковыми амплитудами, расположенные симметрично от нее (эффект «расщепления моды»).
2. Вблизи границ зон генерации в автогенераторах с ЗОС и узкополосными резонансными колебательными системами лежит область бистабильности, в которой сосуществуют режимы на базе двух соседних мод. Удается наблюдать лишь конечное число бифуркаций удвоения, число которых уменьшается при приближении к границе зоны. Далее вновь восстанавливается периодическая автомодуляция, затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. При достаточно боль-
11
ших значениях параметра неравновесности происходит объединение аттракторов на базе двух различных собственных мод в единый аттрактор. Возникает либо режим многомодового развитого хаоса, либо режим периодической автомодуляции, в спектре которого присутствуют частоты обеих мод.
3. В клистронных автогенераторах с ЗОС при увеличении тока пучка или глубины обратной связи многократная перегруппировка пучка приводит к возникновению новых стационарных режимов генерации. На базе каждого из этих стационарных состояний с ростом управляющего параметра наблюдается возникновение автомодуляции, а затем переход к хаосу. Далее происходит объединение хаотических аттракторов, сформировавшихся на базе различных стационарных состояний, приводящее к возникновению развитого хаоса.
4. Воздействуя внешним гармоническим сигналом на клистронный автогенератор хаотических колебаний, можно осуществить переключение между различными хаотическими режимами. На основе этого метода может быть реализована цифровая прямохаоти-ческая система связи, демонстрирующая значительную устойчивость к шуму в канале связи.
Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту.
В Главе 1 рассматривается сложная динамика простых моделей автогенераторов с ЗОС, описывающихся дифференциальными уравнениями с запаздыванием типа (1). В п. 1.1 рассматривается модель автогенератора с кубичной нелинейностью, в п. 1.2 — модель автогенератора с нелинейной характеристикой в виде функции Бесселя (модель «од-норезонаторного» клистрона). Для обеих систем проведен подробный теоретический анализ условий самовозбуждения, стационарных режимов генерации и условий автомодуляции. Показано, что порог самовозбуждения периодически зависит от фазы параметра ОС, т.е. на плоскости параметров наблюдается система дискретно расположенных зон генерации. С ростом параметра неравновесности зоны расширяются и начинают перекрываться вблизи границ, где наблюдается мультистабильность: в зависимости от начальных условий могут возбуждаться колебания на одной из двух соседних собственных мод.
Подробно изучена динамика модели автогенератора с кубичной нелинейностью в центрах и вблизи границ зон генерации. Описана сложная последовательность чередующихся регулярных и хаотических режимов автомодуляции, которые наблюдаются по мере увеличения параметра неравновесности. Обнаружено, что доминирующим сценарием перехода к хаосу в центре зон является последовательность бифуркаций удвоения периода
12
автомодуляции. Вблизи границ зон удается наблюдать лишь число бифуркаций удвоения, число которых уменьшается по мере приближения к границе. Далее вновь восстанавливаются периодические режимы, а затем происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Последовательность бифуркаций завершается объединением аттракторов на базе различных мод, которое может происходить двумя способами. Происходит либо слияние двух хаотических аттракторов в единый развитый хаотический аттрактор (многомодовый хаос), либо возникает периодический режим, в спектре которого присутствуют частоты обеих соседних мод.
Обнаружено, что специфический тип нелинейности модели «однорезонаторного» клистрона приводит к появлению все большего числа стационарных режимов колебаний с ростом параметра неравновесности, причем все они соответствуют одной и той же собственной моде. В определенных областях параметров аттракторы, сформировавшиеся на базе различных стационарных состояний, сосуществуют, затем происходит их объединение, что является еще одним механизмом возникновения развитого хаоса в подобных системах.
Развита нестационарная теория отражательного клистрона, показано, что он также может быть описан моделью «однорезонаторного» клистрона. Однако оценки характерных значений параметров показывают, что в типичной ситуации для получения автомодуляционных или хаотических режимов требуется, чтобы ток пучка значительно (в нескольких десятков раз) превысил стартовое значение, так что экспериментальное наблюдение подобных режимов в отражательном клистроне представляется проблематичным.
В п. 1.3 проведены расчеты спектров показателей Ляпунова. Показано, что развитый хаотический аттрактор, образующийся при объединении аттракторов на базе двух соседних мод вблизи границы зон генерации, характеризуется двумя положительными показателями, т.е. возникает режим гиперхаоса. В то же время, когда режимы развитого хаоса, образуются в результате объединения аттракторов на базе различных стационарных состояний в модели «однорезонаторного» клистрона, по-прежнему имеется только один положительный показатель, величина которого резко увеличивается. Таким образом, гиперхаотическими являются только существенно многомодовые режимы, в которых по терминологии работы [6] не сохраняется фазовый топологический инвариант.
В Главе 2 изучена математическая модель генератора на основе двухрезонаторного клистрона в виде системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит запаздывание. Для предложенной модели проведен детальный теоретический анализ условий самовозбуждения и режимов стационарной генерации. Проведено численное моделирование процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере
13
увеличения тока электронного пучка или глубины обратной связи. Картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл. 1.
Предложена методика учета влияния сил пространственного заряда, основанная на нелинейной волновой теории В.А. Солнцева. Показано, что с увеличением пространственного заряда стартовый ток возрастает, однако при этом также возрастает и выходная мощность клистрона-генератора. Кроме того, обнаружено, что влияние сил пространственного заряда может приводить к подавлению автомодуляции и срыву генерации.
Рассмотрен вопрос о применении хаотического клистрона-генератора в системе передачи информации. Была выбрана так называемая схема с переключением хаотических режимов, обладающая рядом преимуществ, в частности, меньшей чувствительностью к неидентичности элементов приемника и передатчика [38]. Для переключения между различными хаотическими режимами использовалось воздействие на генератор внешним гармоническим сигналом. Проведены численные эксперименты по передаче информации, показавшие хорошую устойчивость к высокому уровню шума в канале связи. Кроме того модуляция сигнала с помощью переключения хаотических режимов была реализована экспериментально.
Глава 3 посвящена вопросам нестационарной теории многорезонаторных клистронов-генераторов. Предложены математические модели генераторов с различным количеством резонаторов в виде систем дифференциальных уравнений с запаздыванием (п. 3.1), проведен теоретический анализ условий самовозбуждения (п. 3.2). Представлены результаты численного моделирования процессов перехода к хаосу, которые наблюдаются по мере увеличения тока электронного пучка или глубины обратной связи (п. 3.3). В целом картина нелинейной динамики оказывается близкой к простым моделям автогенераторов с ЗОС, рассмотренным в гл. 1 и модели двухрезонаторного клистрона, изученной в гл. 2. Проведено сопоставление с результатами экспериментальных исследований автогенератора хаотических колебаний на основе пятирезонаторного клистрона средней мощности десятисантиметрового диапазона (п. 3.4). Подтверждаются основные особенности динамики, обнаруженные в ходе численных экспериментов.
Хотя качественное соответствие результатов теории и эксперимента можно признать достаточно хорошим, предложенные модели, основанные на системах дифференци-,альных уравнений с запаздыванием, имеют ряд недостатков. В частности, они не учитывают распределенный характер взаимодействия пучка с полем в зазоре резонатора, что приводит к существенным расхождениям в низковольтной области. Более реалистичную картину можно получить, используя традиционные для СВЧ электроники методы круп-
14
ных частиц. В п. 3.5 представлены результаты численного моделирования многорезона-торного клистрона с параметрами, соответствующими экспериментальному макету, на основе метода «частиц в ячейке», которые, с одной стороны, подтверждают основные качественные закономерности, обнаруженные при изучении более простых моделей, с другой стороны позволяют значительно уточнить эту картину и добиться количественного соответствия с экспериментом.
В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
15
1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ПРОСТЫХ МОДЕЛЕЙ АВТОГЕНЕРАТОРОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
Исследование сложной динамики распределенных систем представляет собой чрезвычайно трудоемкую задачу, что связано с бесконечным числом степеней свободы и наличием нескольких управляющих параметров. Поэтому представляется целесообразным начать с рассмотрения достаточно простых модельных систем, демонстрирующих основные особенности поведения РАС с ЗОС, которые можно было бы детально исследовать численными, а по возможности — и аналитическими методами. Как известно, простейшая функциональная схема автогенератора с запаздыванием может быть представлена в виде замкнутых в кольцо нелинейного усилителя, резонансного фильтра и линии задержки [7,17]. В настоящей главе приведены результаты исследования двух подобных моделей: автогенератора с кубичной нелинейностью (укороченное уравнение Ван дер Поля с запаздыванием) и генератора, нелинейная характеристика которого описывается функцией Бесселя (модель «однорезонаторного клистрона»).
1.1. Простая модель автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием
Модель автогенератора с ЗОС типа «усилитель — фильтр — линия задержки» в простейшем случае, когда амплитудная нелинейность предполагается кубичной, может быть описана уравнением для медленно меняющейся амплитуды колебаний А
A + yA = ae"vl\-\A(t-l)\2)jA(t-\). (1.1)
Здесь а — параметр, пропорциональный коэффициенту усиления (точнее, произведению коэффициента усиления на глубину ОС), у — параметр диссипации, обратно пропорциональный добротности фильтра, \|/ — набег фазы за время прохождения сигнала по цепи обратной связи. Правая часть уравнения (1.1) зависит от значений амплитуды в запаздывающий момент времени / — 1 (всегда можно выбрать такую нормировку переменных, в которой время запаздывания равно единице).
Уравнение (1.1) приближенно описывает, например, динамику триодного генератора Ван дер Поля с линией задержки в анодной цепи, в случае, когда анодно-сеточная характеристика лампы аппроксимируется кубическим полиномом [54]. В отсутствие запаздывания оно переходит в укороченное уравнение Ван дер Поля
, (1.2)
16
которое описывает установление режима периодических одночастотных автоколебаний в окрестности порога самовозбуждения в широком классе автоколебательных систем [1,4,55]. Поэтому естественно использовать уравнение (1.1) в качестве универсальной модели для описания динамики автоколебательных систем с ЗОС.
Ранее некоторые вопросы, связанные со сложной динамикой автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием (1.1), рассматривались в работах [52,53]. Было показано, что по мере увеличения параметра неравновесности стационарное решение становится неустойчивым и возникает автомодуляция. При дальнейшем увеличении а наблюдался переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума, т.е. через последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции. В данном разделе приведены результаты подробного исследования нелинейной динамики модели (1.1) в широком диапазоне управляющих параметров, которые существенно дополняют и обобщают результаты [52,53]. Обнаружена значительно более богатая и разнообразная картина автоколебательных режимов с многочисленными переходами к хаосу по различным сценариям.
1.1.1. Теоретический анализ
Найдем условия самовозбуждения автоколебаний. Линеаризуя уравнение (1.1) и отыскивая решение в виде А ~ ехр(/?г), получим характеристическое уравнение
р + у = ае'^-р). (1.3)
Это трансцендентное уравнение, которое имеет бесконечное число комплексных корней, что отражает распределенную природу системы. Учитывая, что на границе неустойчивости р является чисто мнимым, p = ia>, где ю — частота колебаний, из (1.3) находим
y = acos(co-il/), co = -asin(
Исключая из уравнений (1.4) параметр <х, можно получить уравнение для частот, с которыми возбуждаются колебания:
(i) (1.5)
Удобно решать уравнение (1.5) графически (рис. 1.1). Занумеруем его корни так, как показано на рис. 1.1. Поскольку по смыслу задачи параметры а и у считаются положительными, следует учитывать только те корни, для которых cos(co-i|/)>0, т.е. корни с четными номерами. Из рис. 1.1 видно, что при изменении у частоты собственных мод ведут
себя следующим образом. При у-* 0 имеем ю±„ «\|/±\пп— , где п = 2,4,... Для ос-
17
я разливаю?

тебе хватает! Не дай Боже войны с покемонами!!!

[tataro4ka]

Гроб, ...поздно... уже и так башню сорвало))))))

[sailor]

опа,дессертацию кто то защищать собрался?здрасте!

[Гроб]

опа,дессертацию кто то защищать собрался?здрасте!

здароп